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我們常聽到的「鷄蛋不要放在同個籃子裏」, 爲的就是要分散股市不確定性所帶來的風險。 一般來説,在風險分散的同時,收益也會跟著降低。 於是問題就變成:我們如何在風險與報酬率中取捨。 被稱爲資産配置之父的哈利·馬可維兹(Harry Max Markowitz)就提供了以下的想法。
在給定各個標的(underlying)的權重後, 對該投資組合(portfolio)做均值–變異數分析(mean-variance analysis), 其中平均數爲平均報酬率,變異數爲波動率(意即「風險」)。 在這樣定義不同投資組合的報酬與風險的情况下, 我們可以發現:在不同的預期報酬下, 都可以找到一個投資組合(或權重)使波動率達到最小值。 將這些報酬與對應到的最小風險記錄下來後所形成的開口向右的二維拋物線圖形(如下圖), 就是所謂的「效率前緣(efficient frontier)」。
本網站使用S&P 500、元大臺灣50以及Nasdaq 100指數的成份股的歷史日資料。 每次計算標的權重,都是取六個月的資料,依照馬可維兹的理論, 畫出效率前緣,然後取夏普值最大的權重,再用接下來三個月的資料, 觀察投資組合的價值如何變化。我們每三個月更新一次權重, 再把許多三個月區間內投資組合的價值變動拼接起來, 得到2015年中到2020年中投資組合的價值變動, 再藉此求出平均年報酬、年波動率,再把報酬除以波動率得到整個投資期間的夏普值。 另外我們還算出最大跌幅(maximum drawdown),就是投資過程中, 會從到目前為止的最高點,最多下跌多少幅度。
$$\begin{equation} \begin{aligned} \min_{w} \quad &\frac{1}{2}w^{T}\Sigma w\quad\\ \textrm{s.t.} \quad &\sum_{i=1}^{n}w_i = 1\\ &\sum_{i=1}^{n}w_i R_i \geq p\\ &0\leq w_i \leq 1 \quad , 1 \leq i \leq n \end{aligned} \end{equation}$$
$$\begin{equation} \begin{aligned} \min_{w} \quad &\frac{w^T R}{\sqrt{w^{T}\Sigma w}}\quad\\ \textrm{s.t.} \quad &\sum_{i=1}^{n}w_i = 1\\ &0\leq w_i \leq 1 \quad , 1 \leq i \leq n \end{aligned} \end{equation}$$
在評估投資組合的表現時,經常使用的是絕對性的指標, 例如報酬率、波動率、夏普指數,MDD等, 不過也有相對性的指標alpha、beta值。 比較投組與另一個標的(例如大盤指數, 我們可以透過回歸式,估計出作為超額報酬的alpha值, 以及作為相關性的beta值。Alpha值表示投組的獲利能力, 越高越好。Beta值代表了投組對系統性風險的曝險程度,越低越好。
根據CAPM模型,給定投組報酬 $r_{p}$, 大盤指數 $r_m$ 以及無風險利率 $r_f$ , $\beta$ 值可以藉由以下公式得出: $$ \mathbb{E}[r_p] - r_f = \beta (\mathbb{E}[r_m] - r_f)$$ $\alpha$ 值則是藉由計算實際的投組報酬與由CAPM得到的理論報酬的差得到,公式為: $$\alpha = r_p - (r_f + \beta (r_m - r_f))$$
當給定一組時間序列時,alpha、beta值可以利用線性回歸的方式得出。 我們可以將上述的式子改寫成以下的形式: $$Y = \alpha + \beta X + \epsilon,$$ 而 $$Y = r_p-r_f , X = r_m-r_f$$ 透過此回歸式,我們除了可以得到alpha、beta值外,也可以計算出值,用以衡量此模型的解釋力。 在本擂台上,不限台股的投組使用的大盤指數 ($r_m$) 是SPY, 台股的投組使用的大盤指數是0050.TW,無風險利率暫定為0。
Value at Risk(VaR)是一種風險度量方法,用於衡量某個金融投資組合在一定置信水平下的最大可能損失, 即在給定的時間段內,可能出現的最大虧損額度。VaR的置信水平通常為95%或99%,表示對於未來某個時間段, 投資組合的損失不會超過該置信水平對應的虧損額度。VaR的計算需要考慮投資組合的市場風險、信用風險和操作風險等多個因素, 並且常常使用統計方法和模型來估計。常見的VaR模型包括歷史模擬法、蒙特卡羅模擬法和參數化模型等。 以下針對資產報酬率,在常態分配的假設下,10-day 95% VaR 風險值的計算方式如下:
給定資產的每日投組價值後,我們可以計算出該投組的(每日)報酬率與(每日)波動率。利用常態分配的假設,我們假設 $\mu$為$n$日報酬率(亦即(每日)報酬率 x n), $\sigma$為$n$日波動率亦即(每日)波動率 則 n-day 5% VaR 的公式為: $$-(\mu - 1.645\times\sigma)$$
其中,置信水平的標準正態分位數是指標準正態分布累積分布函數在置信水平下的分位數, 可以通過查找標準正態分布表來獲得。在這個式子中,第一項是投資組合價值乘以置信水平, 表示投資組合的預期損失;第二項是投資組合價值乘以投資組合日收益的標準差乘以置信水平的標準正態分位數, 表示在一定置信水平下,投資組合可能遭受的最大損失。因此,VaR可以用來幫助投資者評估其投資組合的風險水平, 制定合適的風險管理策略。